\chapter{二体引力与劲度系数k的计算}
\author{李国斌}
\date{V1, 2025年7月8日 \\ V2, 2025年7月9日 \\ V3, 2025年7月10日}

	\begin{abstract}
		本文研究了在$m_0 \gg m_1$条件下的二体引力问题。首先，根据开普勒定律和牛顿定律，详细推导了粒子$m_1$在椭圆轨道上的运动学与动力学方程，包括其线速度、角频率、动量、动能、势能及总能量表达式。随后，通过将粒子$m_1$在短轴交点附近的径向运动类比为简谐振动，推导出其等效劲度系数$k$的表达式$k = \frac{2G m_0 m_1}{b^3}$及其振动方程。最后，基于一个电子表面引力变形的假设模型，定义了亚电子粒子并计算了其绕电子核旋转、绕原子核旋转以及相互碰撞三种特征频率，为后续深入探讨电磁力与引力的相互作用强度比率$k_{QG}$提供了理论基础。
	\end{abstract}
	
	\section{模型描述与基本方程推导}
	\subsection{二体系统的运动学与动力学}
	考虑两个球形粒子，质量分别为$m_0$和$m_1$，且满足$m_0 \gg m_1$。二者绕其共同的质心在椭圆轨道上运动，偏心率分别为$e_0$和$e_1$。由于$m_0 \gg m_1$，质心非常接近$m_0$的位置，可近似认为$m_0$固定，$m_1$在$m_0$的引力场中运动，其轨道是以$m_0$为一个焦点的椭圆。
	
	根据开普勒第三定律，轨道周期$T$与半长轴$a$的关系为：
	\begin{equation}
		T^2 = \frac{4\pi^2}{G(m_0 + m_1)} a^3 \approx \frac{4\pi^2}{G m_0} a^3
		\label{eq:kepler3}
	\end{equation}
	由此可得运动的角频率（平均角速度）为：
	\begin{equation}
		\omega = \frac{2\pi}{T} = \sqrt{\frac{G m_0}{a^3}}
		\label{eq:angular_frequency}
	\end{equation}
	
	在极坐标下（原点位于$m_0$），$m_1$的轨道方程为：
	\begin{equation}
		r = \frac{a(1 - e^2)}{1 + e \cos \theta}
		\label{eq:orbit_eq}
	\end{equation}
	其中，$\theta$为真近点角，$e$为轨道偏心率，$b = a\sqrt{1-e^2}$为半短轴。
	
	$m_1$的线速度$v$遵循活力公式：
	\begin{equation}
		v^2 = G m_0 \left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right)
		\label{eq:vis_viva}
	\end{equation}
	其动量大小为：
	\begin{equation}
		p = m_1 v = m_1 \sqrt{ G m_0 \left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right) }
		\label{eq:momentum}
	\end{equation}
	
	系统的动能$K$、势能$U$（取无穷远处为零势能点）和总能量$E$分别为：
	\begin{align}
		K &= \frac{1}{2} m_1 v^2 = \frac{1}{2} m_1 G m_0 \left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right) \\
		U &= -\frac{G m_0 m_1}{r} \\
		E &= K + U = -\frac{G m_0 m_1}{2a}
		\label{eq:energies}
	\end{align}
	
	\subsection{振动方程与等效劲度系数$k$}
	选取粒子$m_1$轨道与短轴的交点（即$\theta = \pi/2$或$3\pi/2$，此时$r = b$）作为径向运动的平衡位置（能量基准点）。定义$x = r - b$为粒子偏离此平衡位置的径向位移。
	
	$m_1$的运动呈现周期性振荡特性：从远地点（$r_{\text{max}} = a(1+e)$）向近地点（$r_{\text{min}} = a(1-e)$）运动时，$r$减小，$v$增大，等效于受到指向$m_0$的引力（恢复力）；从近地点向远地点运动时，$r$增大，$v$减小，等效于受到背离$m_0$的斥力（恢复力）。此行为与简谐振子类似。
	
	万有引力提供向心力，其大小为：
	\begin{equation}
		F_g = -\frac{G m_0 m_1}{r^2}
		\label{eq:grav_force}
	\end{equation}
	在平衡位置$r = b$处，此力等于维持圆周运动所需的向心力$F_c = -m_1 \omega^2 b$。对于偏离平衡位置的小位移$x$，可将引力$F_g$在$r=b$处进行泰勒展开：
	\begin{equation}
		F_g(r) \approx F_g(b) + \left. \frac{dF_g}{dr} \right|_{r=b} (r - b) = -\frac{G m_0 m_1}{b^2} + \left( \frac{2G m_0 m_1}{b^3} \right) x
		\label{eq:taylor_expansion}
	\end{equation}
	其中，第一项$F_g(b)$是平衡位置处的稳态力，用于提供向心力；第二项是与位移$x$成正比的恢复力：
	\begin{equation}
		F_{\text{恢复}} = -\left( \frac{2G m_0 m_1}{b^3} \right) x
		\label{eq:restoring_force}
	\end{equation}
	此形式与胡克定律$F = -k x$完全相同。因此，该二体引力系统在径向的微振动可等效为一个劲度系数为
	\begin{equation}
		k = \frac{2G m_0 m_1}{b^3}
		\label{eq:spring_constant}
	\end{equation}
	的弹簧振子。
	
	该等效振子的振动角频率$\omega_v$为：
	\begin{equation}
		\omega_v = \sqrt{\frac{k}{m_1}} = \sqrt{\frac{2G m_0}{b^3}}
		\label{eq:vibration_frequency}
	\end{equation}
	其振动方程可写为：
	\begin{equation}
		\frac{d^2 x}{dt^2} + \omega_v^2 x = 0
		\label{eq:vibration_eq}
	\end{equation}
	相应的波动方程（若考虑沿轨道的相位传播）形式为：
	\begin{equation}
		\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = v_p^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial s^2}
		\label{eq:wave_eq}
	\end{equation}
	其中，$\psi$是波函数，$s$是沿轨道的弧长，$v_p$是波速（相速度）。
	
	\section{电子表面亚粒子模型与频率计算}
	\subsection{模型描述}
	假设在原子中，电子（质量$m_e$）在质子（质量$m_p$）的引力场中运动。由于质子的引力作用，电子表面发生变形，并吸附了$N_{eg}$个质量为$m_{eg}$的“亚电子粒子”。这些粒子在电子表面无摩擦地滚动、碰撞（可用光滑粒子流体动力学，SPH模型描述）。该系统需满足质量守恒：
	\begin{equation}
		m_e = m_{\text{eresidue}}} + N_{eg} \cdot m_{eg}
		\label{eq:mass_conservation}
	\end{equation}
	同时，亚电子粒子的平均旋转运动应满足由等效劲度系数$k$所决定的动力学规律。
	
	\subsection{频率计算}
	现将亚电子粒子视为粒子1 ($m_1 = m_{eg}$)，将电子剩余质量部分视为粒子0 ($m_0 = m_{\text{eresidue}}}$)。
	\begin{enumerate}
		\item \textbf{亚电子粒子绕电子核的旋转频率 $\omega_{eg}$}：\\
		根据公式(\ref{eq:vibration_frequency})，其振动角频率即为旋转角频率：
		\begin{equation}
			\omega_{eg} = \sqrt{\frac{2G m_{\text{eresidue}}}{b^3}}
			\label{eq:omega_eg}
		\end{equation}
		其中$b$是亚电子粒子绕电子剩余质量核心运动的轨道半短轴。
		
		\item \textbf{亚电子粒子绕原子核（质子）的旋转频率 $\omega_a$}：\\
		将亚电子粒子$m_{eg}$置于质子$m_p$的引力场中，其轨道运动满足开普勒定律。若其绕质子运动的轨道半长轴为$a_a$，则其角频率为：
		\begin{equation}
			\omega_a = \sqrt{\frac{G m_p}{a_a^3}}
			\label{eq:omega_a}
		\end{equation}
		
		\item \textbf{亚电子粒子的碰撞频率 $\omega_{\text{coll}}$}：\\
		碰撞频率取决于亚电子粒子在电子表面的数密度$n$、平均相对速度$\langle v_{\text{rel}} \rangle$以及碰撞截面$\sigma$。其估算公式为：
		\begin{equation}
			\omega_{\text{coll}} \approx n \cdot \langle v_{\text{rel}} \rangle \cdot \sigma
			\label{eq:omega_coll}
		\end{equation}
		其中，$n = N_{eg} / (4\pi R_e^2)$（$R_e$为电子半径），$\langle v_{\text{rel}} \rangle$与$\omega_{eg} R_e$量级相当，$\sigma$与$m_{eg}$的几何截面有关。
		
	\end{enumerate}
	
	\subsection{频率比较}
	通常，由于$m_{\text{eresidue}}} \ll m_p$，且$b$（电子尺度）远小于$a_a$（原子尺度，如玻尔半径），因此有：
	\[
	\omega_{eg} \gg \omega_a
	\]
	即亚电子粒子绕电子核的局部运动频率远高于其随电子整体绕原子核运动的频率。碰撞频率$\omega_{\text{coll}}$则高度依赖于模型的具体参数（如$N_{eg}$, $m_{eg}$, $R_e$等），其值可能介于$\omega_{eg}$和$\omega_a$之间，也可能接近$\omega_{eg}$的量级。精确的大小关系需通过具体数值代入计算来确定。
	
	\section*{}
	本研究通过经典力学方法推导了二体引力问题的等效振子模型，并提出了一个有趣的亚电子粒子假设模型，为从微观角度探讨引力与电磁力的相互作用提供了一个可能的理论框架。后续工作将集中于对模型参数的合理估计以及频率的具体计算，以期对强度比率$k_{QG}$给出定量或定性的约束。
	
	\section{验证电子}
	计算电子在meg和Neg等于什么值，才符合氢原子电子轨道频率基态值。